조동사 문제에서 should와 had better 차이가 궁금해요

조동사 문제를 풀다가 헷갈려서 질문드려요.
“I advise you to go home and rest.”를 바꾸는 문제의 답이 had better라는데 should나 ought to도 가능한가요?
“그녀는 학교에 일찍 가야 한다”는 문장에는 should가 답인데, must나 have to도 쓸 수 있는지 궁금해요.
그리고 would better도 had better처럼 쓸 수 있나요?