영어 문장 구조 질문 다시 드려요ㅠㅠ

Greg got the book back to the library that he had picked up assuming it was his. 이 문장 구조가 어떻게 되는지 궁금해요ㅠㅠ
제가 이해한 대로라면 Greg got the book (that he had picked up) back to the library, assuming (that) it was his. 같은 구조인가요?
콤마를 쓰면 안 된다는 말도 들었는데, 왜 그런지 모르겠어요.
여기서 assuming은 어떤 품사이고 뒤에 절을 어떻게 이끄는지도 문장 전체를 나눠 설명해 주시면 감사하겠습니다.