영어 문장에서 콤마 뒤에 that을 쓸 수 있나요?

“The price increases, that were intended to fill holes in state budget, could keep more than half a million kids…”라는 문장인데요.
콤마 뒤에 that을 쓸 수 없다고 해서 해당 부분이 틀렸다고 하네요.
삽입절이라면 생략할 수 있는 형태라 콤마와 that을 같이 써도 괜찮은 건가요?
문장 중간에 삽입절이 들어간 경우에도 콤마 뒤에 that을 쓸 수 없는지 궁금해요.